Закономерности простых чисел и теорема Ферма, гипотеза Пуанкаре и сферическая симметрия Кеплера, загадка числа π и орбитальный хаос в небесной механике. Многие из нас лишь краем уха слышали о таинственных и непостижимых загадках современной математики. Между тем, как ни парадоксально, фундаментальная цель этой науки — раскрывать внутреннюю простоту самых сложных вопросов. Английский математик и популяризатор науки, профессор Иэн Стюарт, помогает читателю преодолеть психологический барьер....
Вдохновения без трудового пота не бывает.
Греки не смогли решить задачу квадратуры круга при помощи линейки и циркуля, им пришлось удовлетвориться другими методами. Один из них воспользовался для этого кривой, получившей название квадратрисы. судя по всему, позднейшие комментаторы сильно преувеличили значение, которое греческие геометры придавали тому, что всякое построение должно делаться только при помощи линейки и циркуля. По сути, мы даже не можем сказать наверняка, действительно ли греки считали квадратуру круга такой важной задачей.
Топология. Это "геометрия на резиновом листе", в которой фигуры можно непрерывно деформировать любым способом.
Мёбиус задал эту задачу своим студентам в качестве упражнения, но на следующей лекции извинился за то, что попросил их сделать невозможное.
Для этого необходима способность рассуждать логически о гипотетических вещах - жизненно важное умение для любого математика.
An old joke goes: 'It has been proved that log log n tends to infinity, but it has never been observed doing it.'
Фундаментальная цель математики - раскрывать внутреннюю простоту сложных на первый взгляд вопросов.
Старая шутка гласит: "Доказано, что log log n стремится к бесконечности, но никто никогда не видел, как он это делает".
Один мой студент попросил меня сегодня объяснить один факт, про который мне ничего не было известно, - и я до сих пор не уверен, что это действительно факт.
Последователи Платону считают, что "идеальные формы" математики ведут своего рода независимое существование "где-то там", в некоем собственном царстве, отличном от материального мира. (Существуют более тонкие формулировки, которые, вероятно, звучат более здраво, но суть именно в этом.) Вторые видят в математике общечеловеческую концепцию. Но, в отличие от большинства подобных концепций - законодательной системы, денег, этики, морали, математика представляет собой конструкцию с прочной логической основой. Существуют серьёзные ограничения на то, какие утверждения вы можете или не можете предлагать остальным. Именно из-за этих ограничений возникает впечатление, что математика сама решает, что её делать и как развиваться; они же создают у математиков ощущение, что их наука существует сама по себе вне зоны человеческой деятельности. Мне представляется, что платонизм - это описание не того, что есть математика на самом деле, а того, как jeoftn математику человек, в ней работающий.
математика не похожа на политическую карту мира, где страны разделяются четкими границами и аккуратно окрашиваются каждая в свой цвет: розовый, зеленый или голубой. Она скорее напоминает естественный ландшафт, где никогда нельзя сказать наверняка, где заканчивается долина и начинаются предгорья, где лес переходит в лесостепь, кустарниковые заросли и настоящие степи, где озера вплавляют в окружающий ландшафт свои водяные зеркала, а реки связывают заснеженные горные склоны с далеким океаном. Но этот вечно меняющийся математический ландшафт состоит не из скал, воды и растений, а из идей, и соединяет все вместе не география, а логика.
Если верить старой шутке, то о продвинутости физической теории можно судить по тому, с каким количеством взаимодействующих тел она не в состоянии разобраться. Закон всемирного тяготения Ньютона сталкивается с проблемами уже на трех телах. Общая теория относительности с трудом справляется с двумя. Квантовая теория и для одного тела непомерно сложна, а квантовая теория поля попадает в беду даже там, где тел нет вообще - в вакууме.