Уроженец села Очаково Московской губернии. Отец Алексея был православным священником. Благодаря стараниям родителей начатки христианского воспитания он получил ещё в детстве. Семья жила небогато, но дружно. По-видимому, Алексей рано осиротел (что, конечно же, не могло не сказаться на ухудшении материального положения). Вероятно, именно поэтому он не стал обучаться в ближайшем к родному селу духовном училище: Звенигородском или Волоколамском. В конце концов стараниями близких он был определен в Перервинское училище: сироты, дети священнослужителей, оформлялись туда на казенное содержание.

В училище Алексей пребывал в числе средних учеников. Однако благодаря целеустремленности и усердию его он окончил неплохо, а по выпуске, заручившись благословением, поступил в Московскую духовную семинарию. Здесь он сумел проявить свою даровитость и вскоре вошёл в число первых студентов.

С успехом пройдя полный курс обучения в семинарии, продолжил образование в Московской духовной академии. Следует отметить, что своё призвание к истории он обнаружил не сразу: какое-то время тяготел к изучению философии. С учетом этого обстоятельства по окончании академии, в 1870 году, он был рекомендован профессором В. Кудрявцевым для работы на кафедру метафизики в Киевскую академию.

Между тем, руководство сочло эту мысль неуместной и посчитало необходимым оставить его в МДА. В знак признания достижений Алексея Петровича ему было предложено выбрать одну из пяти вакантных, на тот момент, кафедр, где он хотел бы служить. Вопреки ожиданиям ректора, А. В. Горского, выбор пал на кафедру церковной истории.

Разносторонние знания, любовь к науке, чуткость, внимательность и ответственность А. Лебедева вызывали уважение у студентов. Сообщается, что желающих посещать его лекции всегда было много. Не так гладко складывались отношения с некоторыми из его коллег. Царившая тогда в академии атмосфера консерватизма не располагала к продвижению свежих, оригинальных научных идей. И это смущало совесть ученых, склонных к глубоким изысканиям. Новая мысль могла встретить отпор уже только в силу своей новизны.

Вышедший в 1873 году критический труд А. П. Лебедева, посвященный анализу ряда исторических сочинений, вызвал неодобрительные отзывы со стороны некоторых представителей профессуры. Посыпались обвинения. Но это не остановило его рвения как ученого, не помешало продолжать заниматься дальнейшими исследованиями.

В 1875 году А. П. Лебедев был удостоен звания экстраординарного профессора.

В 1879 году была обнародована его докторская диссертация. Тема работы касалась деятельности Вселенских Соборов IV — V вв. Содержание исследования вызвало много шума как среди церковных, так и среди светских влиятельных лиц. Мнения о работе высказывались различные, от восторженных до осуждающих. Отдельные критики обвинили автора чуть ли не в симпатиях к еретикам. Не обошлось без доносов в Св. Синод.

Много энергии А. П. Лебедев уделял сотрудничеству с академическими изданиями: «Прибавления к творениям св. Отцев», «Богословский вестник». Сохранилось воспоминание, что среди лиц, чьи работы печатались на их страницах, он был самым неутомимым и плодотворным автором. В общей сложности количество листов с его текстами составило около 300.

Результаты его преподавательской деятельности трудно недооценивать. Отчасти единолично, а отчасти совместно с коллегами им было подготовлено 7 докторов богословия, канонического права и церковной истории; степени магистра достигли 13 человек (в круг учеников и последователей А. П. Лебедева входили и те, чьи имена и фамилии впоследствии были вписаны в число лучших церковных ученых: священник Александр Иванцов-Платонов; архиепископ Сергий Владимирский; Доброклонский; Глубоковский; Спасский и др. ).

С 1895 года А. П. Лебедев служил в Московском университете (с 1896 года в звании ординарного профессора). В сравнении с теми нападками и притеснениями, которые он испытывал в академии, и которым вынужден был противостоять, расходуя нервы и силы, работая в университете он чувствовал себя, словно «архиерей на покое». Что же касается собственно научно-образовательной деятельности, в этом отношении он обрёл большую свободу и трудился с каким-то особым юношеским задором.

Несмотря на тягостные воспоминания об академии, в годы работы в университете он продолжал поддерживать теплые, дружеские отношения с её преподавателями, живо интересовался её успехами, ежегодно являлся (1 октября) на академические торжества.

Под конец жизни профессор не утратил ясности ума, был полон желания трудиться на благо науки и общества. Его смерть, неожиданно для окружающих, наступила 14 июля 1908 года. Сотрудники и студенты академии, служению которой он посвятил 25 лет, восприняли её как тяжелую потерю.
От А. П. Лебедева осталось огромное литературное наследие. Его труд по истории Византии до сих пор не утратил своей актуальности и продолжает считаться одним из наиболее значимых произведений этого научного направления.