Сергей Александрович Соловьев родился в семье полковника НКВД (в органах с 1934 года). Его отец — Соловьёв Александр Дмитриевич (1905—1956) был начальником особого отдела НКВД одной из частей Карельского фронта. Мать — Нифонтова Калерия Сергеевна (1922—2001), участница Великой Отечественной войны, служащая.
До шести лет жил в Северной Корее, куда после Великой Отечественной войны направили его отца. В 1950-х годах семья переехала в Ленинград.
В 14 лет играл в спектакле «Дали неоглядные» по пьесе Н. Е. Вирты в Российском государственном академическом Большом драматическом театре (БДТ). На роль мальчика юного Серёжу пригласил Игорь Владимиров (работавший в то время режиссёром-стажёром в БДТ и поставивший спектакль совместно с режиссёром Р. А. Сиротой), встретив его случайно на Невском проспекте. Премьера состоялась 15 ноября 1958 года.
Вместе с одноклассником Львом Додиным занимался в Театре Юношеского Творчества (ТЮТ) при Ленинградском дворце пионеров под руководством Матвея Дубровина.
В 1960—1962 годах Сергей Соловьёв работал на Ленинградском телевидении в качестве рабочего. Окончил режиссёрский факультет ВГИКа.
В 1969 году начал работать на «Мосфильме», дебютировав как режиссёр в том же году двумя новеллами по рассказам Чехова в киноальманахе «Семейное счастье».
На Высших курсах сценаристов и режиссёров с начала 1980-х годов читал лекции по кинорежиссуре, в 1982—1984 годах руководил мастерской детского фильма. Член жюри Венецианского кинофестиваля в 1981 и 1987 годах. Был членом коллегии Государственного комитета Российской Федерации по кинематографии.
В 1996 году был режиссёром тура предвыборной кампании Бориса Ельцина под названием «Голосуй, или проиграешь».
До последних дней жизни преподавал во ВГИКе на режиссёрском факультете, руководил режиссёрской и актёрской мастерскими, был профессором.
В 2002 году выступил инициатором создания международного фестиваля кинематографических дебютов «Дух огня» в Ханты-Мансийске и являлся его бессменным президентом.
С января 2019 года — руководитель «Театра-студии САС» в Москве.
Скончался 13 декабря 2021 года в Москве на 78-м году жизни от инфаркта. Отпевание прошло 16 декабря в церкви Иоанна Богослова на Бронной. Похоронен на Троекуровском кладбище рядом с родителями и сыном.